Il paradosso dell’ipergioco è un paradosso scoperto dal matematico statunitense William Zwicker, legato al teorema di Cantor che però non tratteremo in questo articolo essendo piuttosto complesso.

Per poter spiegare questo paradosso è necessario innanzitutto definire che cosa sia l’ipergioco!

L’ipergioco è definito come un particolare gioco in cui il primo giocatore sceglie il gioco finito a cui giocare, e il secondo giocatore inizia il gioco scelto dal primo giocatore.

Una definizione molto semplice, che nasconde in sé un paradosso tanto semplice quanto interessante, dovuto all’ambiguità della definizione di gioco.

Definizione di gioco finito e infinito

Consideriamo l’insieme dei giochi a due giocatori, un gioco viene detto finito se termina necessariamente in un numero finito di mosse, con la vittoria di uno dei due giocatori o con il pareggio (ad esempio il tris, che è un gioco che necessariamente termina in 9 mosse).

Un gioco infinito è un gioco non finito (grazie, complimenti per la definizione, penserete): ovvero un gioco per il quale esiste almeno una strategia che porta a non concludere mai la partita (anche in presenza di un’altra strategia che la concluderebbe in un numero finito di mosse).

Paradosso nell’ipergioco

Il paradosso nell’ipergioco si ha quando si cerca di determinare se l’ipergioco sia un gioco finito o meno.

A primo impatto sembrerebbe un gioco finito: se infatti il primo giocatore è obbligato a scegliere un gioco finito, e se supponiamo che il gioco scelto termini in al più  mosse, l’ipergioco termina necessariamente in   (le mosse del gioco scelto, e la mossa iniziale dell’ipergioco) e quindi è un gioco finito.

Dunque abbiamo capito che l’ipergioco è un gioco finito (terminando in un numero finito di mosse): questo implica che il primo giocatore dell’ipergioco può scegliere come gioco, l’ipergioco stesso (avendo visto che rientra fra i giochi finiti, che sono gli unici che possono essere scelti dal primo giocatore).

La stessa decisione può però prenderla il secondo giocatore, scegliendo come gioco l’ipergioco e così via…

Abbiamo trovato quindi una strategia che porta il gioco a non finire mai, e dunque l’ipergioco in questo caso si configura come gioco infinito.

Dunque l’ipergioco è allo stesso tempo un gioco finito e un gioco infinito!

Da dove nasce il paradosso

Il paradosso nasce dall’ambiguità insita nella definizione di gioco: se infatti si decide a priori un insieme  di giochi ben definiti (finiti e non finiti), e si limita il secondo giocatore a scegliere all’interno dei giochi finiti dell’insieme , si può applicare lo stesso ragionamento fatto, ma la conclusione in questo caso è semplicemente che l’ipergioco non fa parte dell’insieme , perché non può essere né un suo elemento finito né un suo elemento infinito.

Bibliografia

Wikipedia: Paradosso dell’ipergioco